こんにちは！
JR静岡駅徒歩3分の中学生専門教室の個別学習Roots.（ルーツ）です。
このコラムでは、2025年度の静岡県公立高校入試問題の数学の解説を行います。
このような方は必見です！
- 2025年度に受験生になる新中学3年生
- 受験勉強のやり方が分からない中学生
- 過去問演習を行なっている受験生
また、個別学習Roots.では、個別の勉強相談を随時承っております。
ご興味のある方は、お気軽にお問い合わせください。
大問4 空間図形
(1) 空間図形の基本問題
三角柱の1つの側面と垂直な関係にある面を答える問題です。
頭の中で立体の図形をイメージして回答しましょう。
図3より、面ADEBと垂直な面は、
面ABC , 面DEF
の2つです。
(1)の配点
配点 2点
(2) 立体の体積
四角形ADEGを1回転させてできる立体の体積を考えていきます。
まず最初に、下図のように四角形ADEGの各辺の長さを整理します。
次に、辺BEを軸として1回転させてできる立体の見取り図と各辺の長さは下図の通りです。
上図より、四角形ADEGを辺BEを軸として1回転させてできる立体の体積はは、
円柱の体積から円錐の体積を引いて求めることができることが読み取れます。
それぞれの体積を計算していきます。
① 円柱の体積
円柱の体積は、
なので、
となります。
また、円錐の体積は、
なので、
となります。
したがって、立体の体積は、
となります。
(2)の配点
配点 2点
(3) 立体の中の線分の長さ
線分MNの長さを計算するために、下図のような補助線を引きます。
必要な補助線は、下記の通りです。
- 点Nから線分EFと並行な直線を引き、線分KLとの交点をHとして、線分MHを引く。
- 線分KLの中点をIとして、線分MIを引く。
① 線分MIの長さ
線分MIの長さを求めるために、線分AKの長さを計算します。
AB = 5cm , BK = 3cmより、三平方の定理から、
となります。
また、AM = LM , KI = LI なので、中点連結定理より、
となります。
② 線分MHの長さ
次に、線分MHの長さを△IMHの辺の長さを使って計算します。
IL = 4cm , HL = 2cmより、IH = 4 -2 = 2cmになります。
上図から、△IMHは∠MIH = 90° の直角二等辺三角形であることが読み取れます。
直角二等辺三角形の辺の比は、
なので、線分MHの長さは、
となります。
③ 線分MNの長さ
△MNHの辺の長さを使って、線分MNの長さを計算します。
上図より、線分MNの長さは、
となります。
(3)の配点
配点 3点
大問4 総括
今年の空間図形の問題では、三角柱から問題が出題されました。
例年通り、基本的な問題が2問で配点は4点、応用問題が1問で配点は3点の合計7点の問題でした。
2問の基本問題は、しっかりと点数に繋げることができるよう練習をしておきましょう。
特に、(1)の垂直な面を探す問題は、
入試本番の緊張している中で焦ってしまうと見落としが発生しやすい問題
です。
過去問演習を通じた対策を徹底しておきましょう。
(3)の線分の長さを求める応用問題は、ヒントが少なく、難しく感じる問題であったと思います。
今年度の問題では、補助線を引く場所で困った方も多かったと思います。
空間図形の問題では、相似比や三平方の定理を駆使して、必要な辺の長さを求めるパターンが多いです。
問題の図の中で、三平方の定理が使えそうな図形を見つけて、
与えられた情報の中からどの辺の長さなら求めることができるかを整理を行い、
答えに近づいていきましょう。
また、教科書で見たことがあるような、相似な図形の組み合わせに落とし込んで考えていくことも有効です。
今回の問題では、中点連結定理の考え方が出題されました。
今回の問題のように、なんとなく教科書の相似のページで見たことがある図形を探してそこから解き方の糸口を探していくこともテクニックの一つです。
静岡県の公立高校入試問題では、毎年必ず空間図形の問題は出題されます。
上記のテクニックや考え方のプロセスは練習しておきましょう。
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